Question

已知x满足不等式2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，求函数f(x)=(log2

x

4

)(log2

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由已知条件可得得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，

2

≤x≤8，

1

2

≤log2x≤3．再由f（x）=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，利用二次函数的性质可得它的最值．

解答：解：由2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，可解得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，∴

2

≤x≤8，∴

1

2

≤log2x≤3．
∵f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，故当log₂x=

3

2

，即x=2

2

时，f（x）取得最小值为-

1

4

．
当log₂x=3，即x=8时，f（x）取得最大值为 2．
综上可得，f（x）的最小值为-

1

4

，最大值为 2．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，一元二次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．