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精英家教网已知抛物线y=x2和三个点M（x0，y0）、P（0，y0）、N（-x0，y0）（y0≠x02，y0＞0），过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F．
（1）证明E、F、N三点共线；
（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在y0，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出y0的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设出A，B，E，F的坐标，进而可表示出直线AB的方程，把点M代入，整理可得到y0的表达式，进而把直线AP的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出xF和yF，xE和yE，将y0的表达式代入y=
y0
x1x2
[(x1+x2)x0-y0]得y=y0，判断出N点在直线EF上．
（2）已知A、B、M、N共线，可分别表示出A，B的坐标和以AB为直径的圆的方程，与抛物线方程联立求得y0和y的关系要使圆与抛物线有异于A，B的交点判断y0-1≥0，进而可推断出存在y0≥1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点T且yT=y0-1进而求得交点T到AB的距离．
解答：（1）证明：设A（x1，x12）、B（x2，x22），E（xE，yE）、F（xF，yF）
则直线AB的方程：y=
x
2
1
-
x
2
2
x1-x2
(x-x1)+
x
2
1

即：y=（x1+x2）x-x1x2
因M（x0，y0）在AB上，所以y0=（x1+x2）x0-x1x2①
又直线AP方程：y=
x
2
1
-y0
x1
x+y0
由
y=
x
2
1
-y0
x1
x+y0
x2=y
得：x2-
x
2
1
-y0
x1
x-y0=0
所以x1+xE=
x
2
1
-y0
x1
?xE=-
y0
x1
，yE=
y
2
0
x
2
1

同理，xF=-
y0
x2
，yF=
y
2
0
x
2
2

所以直线EF的方程：y=-(
x1+x2
x1x2
)y0x-
y
2
0
x1x2

令x=-x0得y=
y0
x1x2
[(x1+x2)x0-y0]
将①代入上式得y=y0，即N点在直线EF上
所以E，F，N三点共线
（2）解：由已知A、B、M、N共线，所以A(-
y0
，y0)，B(
y0
，y0)
以AB为直径的圆的方程：x2+（y-y0）2=y0
由
x2+(y-y0)2=y0
x2=y
得y2-（2y0-1）y+y02-y0=0
所以y=y0（舍去），y=y0-1
要使圆与抛物线有异于A，B的交点，则y0-1≥0
所以存在y0≥1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点T（xT，yT）
则yT=y0-1，所以交点T到AB的距离为y0-yT=y0-（y0-1）=1
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．
练习册系列答案
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（-∞，-3]∪[1，+∞）
（-∞，-3]∪[1，+∞）
．
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已知抛物线y=x2和三个点M（x1,y0）、P（0，y0）(y0≠x20,y0＞0),过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，AP、BP的延长线分别交抛物线于点E、F.

（1）证明E、F、N三点共线;

（2）如果A、B、N四点共线，问：是否存在y0，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出y0的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由.
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（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在y，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出y的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由．

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