题目内容

已知关于x的方程，其中、、都是非零向量，且、不共线，则该方程的解的情况是（ ）
A．至多有一个解
B．至少有一个解
C．至多有两个解
D．可能有无数个解
【答案】分析：先将向量 移到另一侧得到关于向量 =-x2-x，再由平面向量的基本定理判断即可．
解答：解：=（-x2）-x
∵、这不共线向量
故存在唯一一对实数λ，μ使，=λ+μ
若λ满足λ=-μ2，则方程有一个解，
λ不满足λ=-μ2，则方程无解
所以至多一个解．
故选A．
点评：本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来．
练习册系列答案
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已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为fn′（x），且满足：f2′[x1+
1
λ
(x2-x1)]=
f2(x2)-f2(x1)
x2-x1
，λ，x1，x2为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f2n-1（x）与fn（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）若gn（x）=ex•fn（x），试证明关于x的方程
gn′(1+x)
gn+1′(1+x)
=
λn-1
λn+1-1
在区间（0，2）上有唯一实数根；记此实数根为x（n），求x（n）的最大值．
已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（Ⅰ）当a=
1
3
时，若不等式f′(x)＞-
1
3
对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-
1
4
t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，
（i） 求f（x）的解析式；
（ii）求实数t的取值范围．
已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f'n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+
1
λ
(ξ2-ξ1)]（ξ1≠ξ2），λ，ξ1，ξ2为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f2n-1（x）与fn（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程
f′n(1+x)
f′n+1(1+x)
=
λn-1
λn+1-1
在区间（0，1）上的实数根的个数．
已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R，其图象C关于直线x=
π
4
对称，又f（x）在区间[0，
π
6
]上是单调函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）将图象C向右平移
π
4
个单位后，得到函数y=g（x）的图象．
①化简，并求值：
1+f(20°)+g(20°)
1+f(20°)-g(20°)
+4f（10°）；
②若关于x的方程f（x）=g（x）+m在区间[0，
π
6
]上有唯一实根，求实数m的取值范围．
（2012•韶关一模）已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（1）当a=
1
3
时，若不等式f′（x）＞-
1
3
对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少存在一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f（x）=-
1
4
t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

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