题目内容

已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,n∈N*,其导函数记为f'n(x),且满足:f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f2[ξ1+
1
λ
(ξ2-ξ1)]
(ξ1≠ξ2),λ,ξ1,ξ2为常数.
(Ⅰ)试求λ的值;
(Ⅱ)设函数f2n-1(x)与fn(1-x)的乘积为函数F(x),求F(x)的极大值与极小值;
(Ⅲ)试讨论关于x的方程
f′n(1+x)
f′n+1(1+x)
=
λn-1
λn+1-1
在区间(0,1)上的实数根的个数.
分析:(Ⅰ)根据f2(x)=x2,可得f2′(x)=2x,利用f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f2[ξ1+
1
λ
(ξ2-ξ1)]
,可得
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+
1
λ
(ξ2-ξ1)]
,化简可求λ的值;
(Ⅱ)先求得y=F(x)=f2n-1(x)•fn(1-x)=(1-x)n•x2n-1,再求导函数y'=-n(1-x)n-1•x2n-1+(2n-1)x2n-2•(1-x)n=x2n-2•(1-x)n-1[(2n-1)-(3n-1)x],令y'=0,从而可得极值点,由此进行分类讨论,进而确定函数的极值.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
f′n(1+x)
f′n+1(1+x)
=
2n-1
2n+1-1
,即
n(1+x)n-1
(n+1)(1+x)n
=
2n-1
2n+1-1
(x≠-1)
,从而方程为
n
(n+1)
1
1+x
=
2n-1
2n+1-1
(x≠-1)
,进而可得结论.
解答:解:(Ⅰ)f2(x)=x2,则f2′(x)=2x,
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+
1
λ
(ξ2-ξ1)]
,又ξ1≠ξ2
ξ2+ξ1=2ξ1+
2
λ
(ξ2-ξ1)⇒λ=2
.…(4分)
(Ⅱ)令y=F(x)=f2n-1(x)•fn(1-x)=(1-x)n•x2n-1
则y'=-n(1-x)n-1•x2n-1+(2n-1)x2n-2•(1-x)n=x2n-2•(1-x)n-1[(2n-1)-(3n-1)x],…(3分)
令y'=0,得x1=0,x 2=
2n-1
3n-1
x3=1
,且x1<x2<x3
当n为正偶数时,随x的变化,y'与y的变化如下:
x (-∞,0) 0 (0,
2n-1
3n-1
)
2n-1
3n-1
(
2n-1
3n-1
,1)
1 (1,+∞)
y' + 0 + 0 - 0 +
y 极大值 极小值
所以当x=
2n-1
3n-1
时,y极大=
(2n-1)2n-1nn
(3n-1)3n-1
;当x=1时,y极小=0.…(7分)
当n为正奇数时,随x的变化,y'与y的变化如下:
x (-∞,0) 0 (0,
2n-1
3n-1
)
2n-1
3n-1
(
2n-1
3n-1
,1)
1 (1,+∞)
y' + 0 + 0 - 0 +
y 极大值
所以当x=
2n-1
3n-1
时,y极大=
(2n-1)2n-1nn
(3n-1)3n-1
;无极小值.…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
f′n(1+x)
f′n+1(1+x)
=
2n-1
2n+1-1
,即
n(1+x)n-1
(n+1)(1+x)n
=
2n-1
2n+1-1
(x≠-1)

所以方程为
n
(n+1)
1
1+x
=
2n-1
2n+1-1
(x≠-1)
,…(12分)∴x=
n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)
(n+1)(2n-1)
=
1+(n-1)2n
(n+1)(2n-1)
>0
,…(13分)
x-1=
n+2-2n+1
(n+1)(2n-1)
,而对于n∈N*,有2n+1>n+2(利用二项式定理可证),∴x<1.…(14分)
综上,对于任意给定的正整数n,方程只有唯一实根,且总在区间(0,1)内,所以原方程在区间(0,1)上有唯一实根.…(15分)
点评:本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的极值,考查方程根的问题,有较大的难度.
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