题目内容
已知定义在实数集上的函数f
n(x)=x
n,n∈N
*,其导函数记为f'
n(x),且满足:
f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+(ξ2-ξ1)](ξ
1≠ξ
2),λ,ξ
1,ξ
2为常数.
(Ⅰ)试求λ的值;
(Ⅱ)设函数f
2n-1(x)与f
n(1-x)的乘积为函数F(x),求F(x)的极大值与极小值;
(Ⅲ)试讨论关于x的方程
=在区间(0,1)上的实数根的个数.
分析:(Ⅰ)根据f
2(x)=x
2,可得f
2′(x)=2x,利用
f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+(ξ2-ξ1)],可得
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+(ξ2-ξ1)],化简可求λ的值;
(Ⅱ)先求得y=F(x)=f
2n-1(x)•f
n(1-x)=(1-x)
n•x
2n-1,再求导函数y'=-n(1-x)
n-1•x
2n-1+(2n-1)x
2n-2•(1-x)
n=x
2n-2•(1-x)
n-1[(2n-1)-(3n-1)x],令y'=0,从而可得极值点,由此进行分类讨论,进而确定函数的极值.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
=,即
=(x≠-1),从而方程为
•=(x≠-1),进而可得结论.
解答:解:(Ⅰ)f
2(x)=x
2,则f
2′(x)=2x,
∴
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+(ξ2-ξ1)],又ξ
1≠ξ
2,
∴
ξ2+ξ1=2ξ1+(ξ2-ξ1)⇒λ=2.…(4分)
(Ⅱ)令y=F(x)=f
2n-1(x)•f
n(1-x)=(1-x)
n•x
2n-1,
则y'=-n(1-x)
n-1•x
2n-1+(2n-1)x
2n-2•(1-x)
n=x
2n-2•(1-x)
n-1[(2n-1)-(3n-1)x],…(3分)
令y'=0,得
x1=0,x 2=,x3=1,且x
1<x
2<x
3,
当n为正偶数时,随x的变化,y'与y的变化如下:
x |
(-∞,0) |
0 |
(0,) |
|
(,1) |
1 |
(1,+∞) |
y' |
+ |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y |
|
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
所以当
x=时,y
极大=
;当x=1时,y
极小=0.…(7分)
当n为正奇数时,随x的变化,y'与y的变化如下:
x |
(-∞,0) |
0 |
(0,) |
|
(,1) |
1 |
(1,+∞) |
y' |
+ |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y |
|
|
|
极大值 |
|
|
|
所以当
x=时,y
极大=
;无极小值.…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
=,即
=(x≠-1),
所以方程为
•=(x≠-1),…(12分)∴
x=n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1) |
(n+1)(2n-1) |
=>0,…(13分)
又
x-1=,而对于n∈N
*,有2
n+1>n+2(利用二项式定理可证),∴x<1.…(14分)
综上,对于任意给定的正整数n,方程只有唯一实根,且总在区间(0,1)内,所以原方程在区间(0,1)上有唯一实根.…(15分)
点评:本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的极值,考查方程根的问题,有较大的难度.
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