Question

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f'_n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]（ξ₁≠ξ₂），λ，ξ₁，ξ₂为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f_2n-1（x）与f_n（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

λn-1

λn+1-1

在区间（0，1）上的实数根的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f₂（x）=x²，可得f₂′（x）=2x，利用f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，可得
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，化简可求λ的值；
（Ⅱ）先求得y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，再求导函数y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，令y'=0，从而可得极值点，由此进行分类讨论，进而确定函数的极值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，从而方程为

n

(n+1)

•

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，进而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）f₂（x）=x²，则f₂′（x）=2x，
∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+

1

λ

(ξ2-ξ1)]，又ξ₁≠ξ₂，
∴ξ2+ξ1=2ξ1+

2

λ

(ξ2-ξ1)⇒λ=2．…（4分）
（Ⅱ）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
则y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y'=0，得x1=0，x 2=

2n-1

3n-1

，x3=1，且x₁＜x₂＜x₃，
当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x	（-∞，0）	0	(0， 2n-1 3n-1 )	2n-1 3n-1	( 2n-1 3n-1 ，1)	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				极大值		极小值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；当x=1时，y_极小=0．…（7分）
当n为正奇数时，随x的变化，y'与y的变化如下：

x	（-∞，0）	0	(0， 2n-1 3n-1 )	2n-1 3n-1	( 2n-1 3n-1 ，1)	1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				极大值

所以当x=

2n-1

3n-1

时，y_极大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；无极小值．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，
所以方程为

n

(n+1)

•

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

(x≠-1)，…（12分）∴x=

n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)

(n+1)(2n-1)

=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，…（13分）
又x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

，而对于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二项式定理可证），∴x＜1．…（14分）
综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．…（15分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查方程根的问题，有较大的难度．