题目内容
已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn，n∈N*，其导函数记为f'n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+
(ξ2-ξ1)]（ξ1≠ξ2），λ，ξ1，ξ2为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f2n-1（x）与fn（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程
=
在区间（0，1）上的实数根的个数．
| 1 |
| λ |
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f2n-1（x）与fn（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程
| f′n(1+x) |
| f′n+1(1+x) |
| λn-1 |
| λn+1-1 |
分析：（Ⅰ）根据f2（x）=x2，可得f2′（x）=2x，利用f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+
(ξ2-ξ1)]，可得
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+
(ξ2-ξ1)]，化简可求λ的值；
（Ⅱ）先求得y=F（x）=f2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，再求导函数y'=-n（1-x）n-1•x2n-1+（2n-1）x2n-2•（1-x）n=x2n-2•（1-x）n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，令y'=0，从而可得极值点，由此进行分类讨论，进而确定函数的极值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
=
，即
=
(x≠-1)，从而方程为
•
=
(x≠-1)，进而可得结论．
| 1 |
| λ |
ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+
| 1 |
| λ |
（Ⅱ）先求得y=F（x）=f2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，再求导函数y'=-n（1-x）n-1•x2n-1+（2n-1）x2n-2•（1-x）n=x2n-2•（1-x）n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，令y'=0，从而可得极值点，由此进行分类讨论，进而确定函数的极值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
| f′n(1+x) |
| f′n+1(1+x) |
| 2n-1 |
| 2n+1-1 |
| n(1+x)n-1 |
| (n+1)(1+x)n |
| 2n-1 |
| 2n+1-1 |
| n |
| (n+1) |
| 1 |
| 1+x |
| 2n-1 |
| 2n+1-1 |
解答：解：（Ⅰ）f2（x）=x2，则f2′（x）=2x，
∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+
(ξ2-ξ1)]，又ξ1≠ξ2，
∴ξ2+ξ1=2ξ1+
(ξ2-ξ1)⇒λ=2．…（4分）
（Ⅱ）令y=F（x）=f2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，
则y'=-n（1-x）n-1•x2n-1+（2n-1）x2n-2•（1-x）n=x2n-2•（1-x）n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y'=0，得x1=0，x 2=
，x3=1，且x1＜x2＜x3，
当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：
所以当x=
时，y极大=
；当x=1时，y极小=0．…（7分）
当n为正奇数时，随x的变化，y'与y的变化如下：
所以当x=
时，y极大=
；无极小值．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
=
，即
=
(x≠-1)，
所以方程为
•
=
(x≠-1)，…（12分）∴x=
=
＞0，…（13分）
又x-1=
，而对于n∈N*，有2n+1＞n+2（利用二项式定理可证），∴x＜1．…（14分）
综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．…（15分）
∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+
| 1 |
| λ |
∴ξ2+ξ1=2ξ1+
| 2 |
| λ |
（Ⅱ）令y=F（x）=f2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，
则y'=-n（1-x）n-1•x2n-1+（2n-1）x2n-2•（1-x）n=x2n-2•（1-x）n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y'=0，得x1=0，x 2=
| 2n-1 |
| 3n-1 |
当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：
| x | （-∞，0） | 0 | (0，
|
|
(
|
1 | （1，+∞） | ||||||
| y' | + | 0 | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| y | 极大值 | 极小值 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| (2n-1)2n-1•nn |
| (3n-1)3n-1 |
当n为正奇数时，随x的变化，y'与y的变化如下：
| x | （-∞，0） | 0 | (0，
|
|
(
|
1 | （1，+∞） | ||||||
| y' | + | 0 | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| y | 极大值 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| (2n-1)2n-1•nn |
| (3n-1)3n-1 |
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
| f′n(1+x) |
| f′n+1(1+x) |
| 2n-1 |
| 2n+1-1 |
| n(1+x)n-1 |
| (n+1)(1+x)n |
| 2n-1 |
| 2n+1-1 |
所以方程为
| n |
| (n+1) |
| 1 |
| 1+x |
| 2n-1 |
| 2n+1-1 |
| n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1) |
| (n+1)(2n-1) |
| 1+(n-1)2n |
| (n+1)(2n-1) |
又x-1=
| n+2-2n+1 |
| (n+1)(2n-1) |
综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．…（15分）
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查方程根的问题，有较大的难度．
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