Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程；

（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围；

（3）由方程联立可得到两根之和、两根之积，从而可求直线MA，MB斜率之和，化简可得结论．

（1） 设椭圆的方程为 ，因为 ，所以 ，

又因为 ，所以 ，解得 ，故椭圆方程为 ．

（2） 将 y=x+m 代入 并整理得 ， ，解得 -5<m<5．

（3） 设直线MA，MB 的斜率分别为 ，只要证明 ，

设 ，

则 ， ，

，

分子

所以直线 MA，MB 的斜率互为相反数．