Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点A，x轴上有一点Q（2a，0），若双曲线上存在点P，使AP⊥PQ，则双曲线的离心率的取值范围是

1＜e＜

6

2

．

Answer 1

分析：点P（m，n），根据

AP

⊥

PQ

利用数量积为零算出（m-a）（2a-m）-n²=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b²（

m2

a2

-1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．

解答：解：设点P（m，n），可得

AP

=（m-a，n），

PQ

=（2a-m，-n）
∵AP⊥PQ，
∴

AP

•

PQ

=（m-a）（2a-m）-n²=0…（1）
又∵P（m，n）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，得n²=b²（

m2

a2

-1）…（2）
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b²（

m2

a2

-1）=0
化简整理，得-

c2

a2

m²+3am+c²-3a²=0
此方程的一根为m₁=a，另一根为m₂=

3a3-ac2

c2

．
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴

3a3-ac2

c2

＞a，得3a²＞2c²，即e²＜

3

2

由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜

6

2

故答案为：1＜e＜

6

2

点评：本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（2a，0）所张的角等于90度，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．