Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；
（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）根据题意，f(

1

3

)=1，令x=y=

1

3

，f（xy）=f（x）+f（y）=2；有可求得m的值；
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．

解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）∵f(

1

3

)=1，
∴f(

1

9

)=f(

1

3

×

1

3

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2
∴m=

1

9

（3）∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜f(

1

9

)，
又由y=f（x）是定义在R⁺上的减函数，得：

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

解之得：x∈(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．

点评：考查函数的单调性，及根据函数的单调性转化不等式，求抽象函数的有关命题，常采用赋值法求解，体现了转化的思想方法，属中档题．