Question

设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则下列五个命题：
①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；
②当x∈[1，3]时，f（x）=（ x-2）³；
③直线x=±1是函数y=f（x）图象的对称轴；
④点（2，0）是函数y=f（x）图象的对称中心；
⑤函数y=f（x）在点（

3

2

，f（

3

2

））处的切线方程为3x-y-5=0．
其中正确的是

①③

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①根据f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
②设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]，根据x∈[-1，1]时，f（x）=x³，可得f（x-2）=（ x-2）³，从而可得f（x）=-（ x-2）³；
③∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），可得f（x-2）=f（-x），从而直线x=-1是函数y=f（x）图象的对称轴，由于函数为奇函数，所以直线x=1也是函数y=f（x）图象的对称轴；
④根据f（x-2）=-f（x），可得f（x-2）+f（x）=0；
⑤由②知f（x）=-（ x-2）³，求出导函数，从而求出切线斜率与切点的坐标，从而可得切线方程．

解答：解：①，∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确；
②，设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]，∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，∴f（x-2）=（ x-2）³，∵f（x-2）=-f（x）
∴-f（x）=（ x-2）³，∴f（x）=-（ x-2）³，故②不正确；
③，∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），∴f（x-2）=f（-x），∴直线x=-1是函数y=f（x）图象的对称轴，由于函数为奇函数，所以直线x=1也是函数y=f（x）图象的对称轴，故③正确；
④，∵f（x-2）=-f（x），∴f（x-2）+f（x）=0，∴点（1，0）是函数y=f（x）图象的对称中心，故④不正确；
⑤，由②知f（x）=-（ x-2）³，则f′（x）=-3（ x-2）²，∴f′（

3

2

）=-3（ 

3

2

-2）²=-

3

4

，又f（

3

2

）=

1

8

∴函数y=f（x）在点（

3

2

，f（

3

2

））处的切线方程为y-

1

8

=-

3

4

(x-

3

2

)，即3x+4y-5=0，故⑤不正确．
综上知，正确的是①③
故答案为：①③

点评：本题综合考查函数的性质，考查函数的周期性，对称性，考查曲线的切线，涉及知识点多，解题需要谨慎．