Question

设函数y=f（x）是定义在正实数上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求证：f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件利用赋值法求f（1）=0，然后证明f（

1

y

）=-f（y）．
（2）由f（3）=1，得到f（9）=2，然后利用函数的单调性进行求解．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
令y=

1

x

＞0，则由f（xy）=f（x）+f（y），得f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0，
即f（

1

x

）=-f（x），∴f（

1

y

）=-f（y）．
∴f（

x

y

）=f（x）+f（

1

y

）=f（x）-f（y）成立．
（2）若f（3）=1，则f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3），即f（9）=2f（3）=2．
则由f（a）＞f（a-1）+2，得f（a）＞f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]，
∵函数y=f（x）是定义在正实数上的增函数，
∴a＞9（a-1），且9（a-1）＞0，
解得a＜

9

8

且a＞1．即1＜a＜

9

8

．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．