Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：当时，关于的不等式恒成立；

（3）若正实数满足，证明．

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为，函数的增区间是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化；（3）将代数式放缩，构造关于的一元二次不等式，解不等式即可．

试题解析：（1），由，得，

又，所以，所以的单调减区间为，函数的增区间是，

（2）令，

所以

因为，

所以，令，得，

所以当；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数，

故函数的最大值为

令，因为，又因为在是减函数，

所以当时，，即对于任意正数总有，

所以关于的不等式恒成立；

（3）由，

即，

从而

令，则由得，，

可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，所以，又，

因此成立．