Question

设f(x)＝ax³＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

(1)；(2) 、

解析试题分析：(1)根据为奇函数可得。由导数的几何意义可得，的最小值可求，从而可得的解析式。(2)先求导，在令导数大于0得增区间，令导数小于零得减区间，从而求得在上的极值。再求两端点处函数值，比较极值与端点处函数值最小的为最小值，最大的为最大值。
试题解析：
解：(1)∵为奇函数，∴                   1分
即，∴.                     2分
又的最小值为，∴.         4分
由题设知，∴，
故                                                 6分
(2)                      7分
当变化时，、的变化情况表如下：

∴函数的单调递增区间为和         8分
∵，极小值，极大值，
当时， ；当时，.          10分
考点：1求导；2导数的几何意义；3用导数求函数的极值和最值。