Question

一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，其三视图如图所示，

（1）求杯子的侧面积；
（2）求冰淇淋的体积；
（3）如果冰淇淋全部融化了，会溢出杯子吗？写出推导过程．

Answer 1

【答案】分析：（1）该几何体的表面的上部分是一个半径为4cm的半球，下部分是底面半径为4cm，高为12cm的圆锥．利用勾股定理计算出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积
（2）由（1）中半球的半径，代入球的体积公式，可求出冰淇淋的体积；
（3）计算出下部分圆锥的体积，结合（2）中冰淇淋的体积，比较半球的体积与圆锥的体积，从而得到冰淇淋融化了会不会溢出杯子．
解答：解：（1）根据题意，该几何体的表面的上部分是一个半径为4cm的半球，下部分是底面半径为4cm，高为12cm的圆锥
由勾股定理，得圆锥的母线长为l==4cm
∴S_圆锥侧=πrl=4•4π=16πcm²
（2）∵上部分是一个半径为4cm的半球，
V_半球=×π×4³=π，
即冰淇淋的体积为πcm³
（3）∵下部分是底面半径为4cm，高为12cm的圆锥
∴V_圆锥=×π×4²×12=64π
∴V_半球＜V_圆锥，可得冰淇淋不会溢出杯子
点评：本题给出一个组合式的几何体，求它的表面积和体积，着重考查了球和圆锥的表面积公式和体积公式，属于基础题．