Question

【题目】对于给定的数列，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．

（1）设，，求，，的值，并证明数列是等差数列；

（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；

（3）设数列满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．

Answer 1

【答案】（1），，；证明详见解析；（2）；（3）详见解析．

【解析】

（1）根据和谐数列定义求出，，，求出，利用等差数列定义证明即可；

（2）分和两种情况讨论，时，可得，计算知数列不是等差数列，当时，可满足是等差数列；

（3）根据条件可证明，可得，所以，即证.

（1）由题意知，

，

．

因为恒成立，

所以，

则4，

即，

故（与n无关的常数），

所以数列是公差为1的等差数列．

（2）因为数列，都是公比为q的正项等比数列，

所以，，．

．

当时，;，

所以，

则．

因为

，

所以，

此时数列不是等差数列，与题意矛盾．

当时，，

所以，

则，

此（与n无关的常数），

所以数列是等差数列，符合题意．

综上，公比q的取值范围是．

（3）因为，

所以，

上面两式相减得

因为

又，所以

，

所以

故，

即

则，

所以．