Question

3．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，AB=2．
（1）求证：BD₁∥平面ACM；
（2）求三棱锥M-ADC的表面积和体积．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于点O，连接OM，由OM为中位线，利用中位线定理得到BD₁与OM平行，即可得证；
（2）由M为DD₁的中点，求出MD的长，进而确定出三棱锥M-ADC的表面积和体积即可．

解答 （1）证明：连接BD交AC于O，连接OM，
∵OM为△BDD₁的中位线，
∴BD₁∥OM，
则BD₁∥平面ACM；
（2）解：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，AB=2，
∴MD=1，AD=DC=2，且MD⊥AD，MD⊥DC，AD⊥DC，
∴三棱锥M-ADC的表面积为$\frac{1}{2}$×2×1×2+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=4+$\sqrt{6}$；体积为$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×1=$\frac{2}{3}$．

点评 此题考查了棱柱、棱锥、棱台的体积，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，以及直线与平面平行的判定，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．