Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3……)，

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn；

(3)在(2)的条件下，对任意n∈N*，Tn>都成立，求整数m的最大值．

Answer 1

∵4Sn＝(an＋1)2，   ①

∴4Sn－1＝(an－1＋1)2(n≥2)，   ②

①－②得

4(Sn－Sn－1)＝(an＋1)2－(an－1＋1)2.

∴4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2.

化简得(an＋an－1)·(an－an－1－2)＝0.

∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．

∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

(2)bn＝＝＝(－)．

∴Tn＝

＝(1－)＝

(3)由(2)知Tn＝(1－)，

Tn＋1－Tn＝(1－)－(1－)

＝(－)>0.

∴数列{Tn}是递增数列．

∴[Tn]min＝T1＝.

∴<，∴m<.

∴整数m的最大值是7.