Question

如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角， 为底面圆周上一点．

（1）若的中点为，,求证平面；
（2）如果,,求此圆锥的全面积．

Answer 1

(1)详见解析；(2).

解析试题分析：(1)要证平面,即证垂直于平面内的两条相交直线，是已知，转化为证平面,利用母线相等，利用底面半径相等，为中点，证得平面 ，证得，,得证；(2),求出底面半径，以及母线长，根据全面积公式，,求出全面积.
试题解析：解：①连接OC，
∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB                        2分
∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ
∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC
∵OH?平面SOC，∴BQ⊥OH，                              5分
∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线，
∴OH⊥平面SBQ；                                          6分
②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，
可得AB==4 8分
∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，
∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2，
因此，圆锥的侧面积为S_侧=π×2×2=4π                       10分
∴此圆锥的全面积为S_侧+S_底=4π+π×2²=（4+4）π    12分
考点：1.线面垂直的判定；2.线面垂直的性质；3.几何体的表面积.