题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间
内是减函数，求a的取值范围．
【答案】分析：（I）由于是高次函数，所以用导数法，先求导，令f′（x）=0分二种情况讨论：当判别式△≤0时为增函数，．当△＞0时，由两个不同的根，则为单调区间的分水岭．
（II）先由函数求导，再由“函数f（x）在区间
内是减函数”转化为“f'（x）=3x2+2ax+1≤0在
恒成立”，进一步转化为最值问题：
在
恒成立，求得函数的最值即可．
解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+x+1求导：f'（x）=3x2+2ax+1
当a2≤3时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增
当a2＞3，f'（x）=0求得两根为
即f（x）在
递增，
递减，
递增
（2）f'（x）=3x2+2ax+1≤0在
恒成立．
即
在
恒成立．
可知
在
上为减函数，在
上为增函数．
．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．（2）可以利用f'（-
）≤0 且f'（-
）≤0，所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．解答．
（II）先由函数求导，再由“函数f（x）在区间
内是减函数”转化为“f'（x）=3x2+2ax+1≤0在恒成立”，进一步转化为最值问题：在恒成立，求得函数的最值即可．解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+x+1求导：f'（x）=3x2+2ax+1
当a2≤3时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增
当a2＞3，f'（x）=0求得两根为
即f（x）在
递增，递减，递增（2）f'（x）=3x2+2ax+1≤0在
恒成立．即
在恒成立．可知
在上为减函数，在上为增函数．．所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．（2）可以利用f'（-
）≤0 且f'（-）≤0，所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．解答． 
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|