题目内容

若直线2ax-by+6=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则 $数学公式$ + $数学公式$ 的最小值是

A.
$数学公式$
B.
9
C.
$数学公式$
D.
3

D
分析：先根据直线始终平分圆的周长，可推断出直线过圆的圆心，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把 $\text{[math]}$ 整理成 $\text{[math]}$ （a+b）（ $\text{[math]}$ ）的形式，展开后利用基本不等式求得答案．
解答：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
由题意可得：直线2ax-by+6=0过圆心，
∴-2a-2b+6=0，即 $\text{[math]}$ （a+b）=1，即a+b=3
∵a＞0，b＞0，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（a+b）
= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +4）≥ $\text{[math]}$ （5+2 $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （5+4）=3，
当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即b=2a时取等号，
则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值是3．
故选D
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及基本不等式的运用，其中根据题意得出直线过圆心，进而得到a与b的关系式是解本题的关键．