Question

若直线2ax-by+2=0始终平分圆

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（0≤θ＜2π）的周长，则a•b的取值范围是（　　）

• A．(-∞，

  1

  4

  ]
• B．(0，

  1

  4

  ]
• C．(0，

  1

  4

  )
• D．(-∞，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：把圆的参数方程化为普通方程，找出圆心坐标，根据直线始终平分圆的周长，得到直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程，得到a+b=1，然后讨论a与b的正负，若a与b异号或a与b中有一个为0，则有a•b小于等于0；若a与b都大于0，根据基本不等式求出a•b的范围，综上，得到所有满足题意的a•b的取值范围．

解答：解：把圆的方程化为普通方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圆心坐标为（-1，2），
由题意可得直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程得：
-2a-2b+2=0，即a+b=1，
若a与b异号或a，b中有一个为0，则有a•b≤0；
若a＞0，b＞0，则有a+b≥2

a•b

，即a•b≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
当且仅当a=b时取等号，此时0＜a•b≤

1

4

，
综上，a•b的取值范围是（-∞，

1

4

]．
故选A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程，以及基本不等式的运用，根据题意得到已知直线过圆心是本题的突破点．