Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥BC，平面PACD为直角梯形，∠PAC=90°，PD∥AC，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120°
（1）求证：PA⊥AB；
（2）求直线BD与平面PACD所成角的正弦值；
（3）求二面角D-BC-A的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥BC，PA⊥AC，得到PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥AB．
（Ⅱ）过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，则∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角，由此能求出直线BD与平面PACD所成角的正弦值．
（Ⅲ）过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，则∠DFE为二面角D-BC-A的平面角，由此能求出二面角D-BC-A的平面角的正切值．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）因为PA⊥BC，∠PAC=90°，
即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，
所以PA⊥平面ABC，…（2分）
而AB?底面ABC，所以PA⊥AB．…（3分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PACD⊥平面ABC，
过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，
则∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；…（5分）
取AC的中点E，连接BE，DE，则DE∥PA；
在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，
所以BE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，
所以$BM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（6分）
因为DE∥PA，所以DE⊥平面ABC，BD=$\sqrt{3+1}$=2，…（7分）
在直角三角形△BDM中，$sin∠BDM=\frac{BM}{BD}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（8分）
（Ⅲ）过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，
则∠DFE为二面角D-BC-A的平面角，…（10分）
在△EBC中，$BE=\sqrt{3}，EC=1，∠BEC={150°}$，
则BC=$\sqrt{3+1-2×\sqrt{3}×1×cos150°}$=$\sqrt{7}$，
${S_{△EBC}}=\frac{1}{2}BE•ECsin∠BEC=\frac{1}{2}BC•EF$，$EF=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，…（11分）
$tan∠DFE=\frac{DE}{EF}=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$，
即二面角D-BC-A的平面角的正切值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$．…（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．