如表1:表1:空气质量指标AQI分组表AQI0-5051-100101-150151-200201-300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录.AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况．表2:AQI指数 900700300100空气可见度 0.53.56.59.5表3是某气象观� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：
表1：空气质量指标AQI分组表

AQI	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	＞300
级别	Ⅰ级	Ⅱ级	Ⅲ级	Ⅳ级	Ⅴ级	Ⅵ级
类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．
表2：

AQI指数	900	700	300	100
空气可见度（千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．
表3：

AQI指数	[0，200]	（201，400]	（401，600]	（601，800]	（801，1000]
频数	3	6	12	6	3

（1）设x=$\frac{M}{100}$，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；
（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．
（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．
（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x）

分析（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；
（2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；
（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．

解答解：（1）$\overline x=\frac{9+7+3+1}{4}=5$，$\overline y=\frac{0.5+3.5+6.5+9.5}{4}=5$，$\sum_{j=1}^4{{x_j}{y_j}}=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58$，$\sum_{j=1}^4{{x_j}^2}={9^2}+{7^2}+{3^2}+{1^2}=140$，
所以$b=\frac{58-4×5×5}{{140-4×{5^2}}}=-\frac{21}{20}$，$a=5-（-\frac{21}{20}）×5=\frac{41}{4}$，
所以y关于x的回归方程是$y=-\frac{21}{20}x+\frac{41}{4}$．
（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．
设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，
则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，
（ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为

X	-200	400	700
P	0.1	0.2	0.7

则X的数学期望为EX=-200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．
（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，
则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：$P={0.2^3}+C_3^2×{0.7^2}×0.1+C_3^2×{0.7^2}×0.2+C_3^2×{0.2^2}×0.7+{0.7^3}=0.876$．

点评本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．