Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若CM=$\frac{5}{2}$，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CC₁⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能证明BC⊥AM．
（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-MB₁-C的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
∵$AC=BC=2，AB=2\sqrt{2}$，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AM．
解：（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵CM=$\frac{5}{2}$，
∴C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4），M（0，0，$\frac{5}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（0，-2，-$\frac{3}{2}$），
设平面AMB₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}M}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+\frac{5}{2}z=0}\\{-2y-\frac{5}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=5，得$\overrightarrow{n}$=（5，-3，4），
又平面MB₁C 的一个法向量$\overrightarrow{CA}$=（2，0，0），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由图知二面角A-MB₁-C为锐角，
∴二面角A-MB₁-C的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．