Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明。

Answer 1

解：（1）由题意，可设椭圆的方程为。
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率。
（2）由（1）可得A（3，0）。
设直线PQ的方程为。
由方程组得
依题意，得。
设，则， ①
②
由直线PQ的方程得。
于是。③
∵，∴。④
由①②③④得，从而。
所以直线PQ的方程为或。
（3）证明：
由已知得方程组
注意，解得
因，
故。
而，
所以。