Question

【题目】已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+ 在区间 内单调递增，则函数f（x）（ ）
A.最小值为 ，其图象关于点 对称
B.最大值为 ，其图象关于直线 对称
C.最小正周期为2π，其图象关于点 对称
D.最小正周期为π，其图象关于直线 对称

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=sinωxcosωx+ = sin2ωx+ ﹣ = sin（2ωx+ ），

又∵f（x）在在区间 内单调递增，

∴由﹣ ≤2×（﹣ ）ω+ ，2× ω+ ≤ ，解得：ω≤ ，ω≤ ，

∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）= sin（2x+ ），

∴f（x）的最大值为 ，最小正周期为π，故A，C选项错误；

∵令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得：x= + ，k∈z，可得当k=﹣1时，f（x）关于直线x=﹣ 对称．

∴B选项错误，D选项正确．

故选：D．

【考点精析】掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换是解答本题的根本，需要知道图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．