Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意可得a、b、c的方程组，解之可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，可得；（2）当直线l的斜率存在时，写直线的方程，联立方程组，消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为，由k的范围可得其范围，综合可得．
解答：解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为，
依题意得解之可得a²=4，b²=1．
所以椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．
（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，
易得，，所以．…（6分）
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），显然k=0时，不符合题意．
由消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则．
直线AE，AF的方程分别为：，
令x=3，则．
所以，．…（10分）
所以
==
=
=
==．…（12分）
因为k²＞0，所以16k²+4＞4，所以，即．
综上所述，的取值范围是．…（14分）
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题．