Question

已知△AOB，O为坐标原点，点A（1，0），B为椭圆

x2

4

+y²=1上的动点，若点M满足

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：设点M的坐标为（x，y），因为点M随着点B在动，故设动点B（m，n），则动点B的轨迹为已知，由

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

找到点M与点B间的坐标关系，代入椭圆方程即可得点M的轨迹方程

解答：解：设M（x，y），B（m，n）
∴

OM

=（x，y），

OA

=（1，0），

OB

=（m，n）
∵

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

∴（x，y）=

2

3

（1，0）+

1

3

（m，n）
∴

x= 1 3 m+ 2 3 y= 1 3 n

即

m=3x-2 n=3y

∵B为椭圆

x2

4

+y²=1上的动点，
∴

m2

4

+n2=1
∴

(3x-2)2

4

+(3y)2=1
化简得（3x-2）²+36y²=4
∴点M的轨迹方程为（3x-2）²+36y²=4

点评：本题考查了解析几何的基本思想，坐标法求动点的轨迹方程，向量与解析几何的综合