Question

6．已知双曲线$M：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$与抛物线$y=\frac{1}{8}{x^2}$有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{y^2}{3}-\frac{x^3}{7}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$
• D． ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点F（0，2），可得c=2，求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b，求得a，进而得到双曲线的方程．

解答 解：抛物线$y=\frac{1}{8}{x^2}$，即x²=8y的焦点F（0，2），
即有双曲线的c=2，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得F到渐近线的距离为d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=$\sqrt{3}$，
即有a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
则双曲线的方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．