Question

【题目】已知函数f（x）＝ax3﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．

（Ⅰ）若，证明：f（x）≥0；

（Ⅱ）若xe1﹣x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）[）．

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求的范围，即可得证；

（Ⅱ）由已知代入整理可得在上恒成立，构造函数，，按照、讨论，结合导数分别分析函数的特征性质，即可得解．

（Ⅰ）证明：函数的定义域，

当时，，

令，则，

当时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增；

故，

又，所以；

（Ⅱ）若在上恒成立，

则在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，

令，则，则，

所以，可得，

∵，

（i）当时，，在上单调递减，故，

此时不成立；

（ii）当时，由可得，，

当即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴，则在上，不成立；

当即时，在上单调递增，

令，

则，

令，

∵，

故在上单调递增，，

则，符合题意；

综上，a的范围．