Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， 为线段上的点．

（1）证明： 平面；

（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO为DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值．

试题解析：

（1）证明：∵在四棱锥中， 平面，

∴.∵， .

设与的交点为，则是的中垂线，

故为的中点，且.

而，∴面；

（2）若是的中点， 为的中点，则平行且等于，

故由面，可得面，

∴，故平面，故为与平面所成的角．

由题意可得， 中，由余弦定理可得， ，

∴， .

∵直角三角形中， ，

∴直角三角形中， .