Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：函数有两个零点；

（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明（为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知函数在上单调递减，在上单调递增，求得函数的最小值，记，利用导数求得函数的单调性与最值，利用零点的存在定理，即可求解；

（Ⅲ）求得，得到，把欲证转化为证，进而得到，设，等价于，令，利用导数求得函数的单调性，即可求解．

（Ⅰ）的定义域为，

由，可得，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，即时，函数单调递增；

当时，即时，函数单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.取，

记，所以在上单调递减. .所以当，

，所以函数在上存在一个零点.当时，，，所以函数在上存在一个零点.所以，当时，函数有两个零点.

（Ⅲ）依题意得，，则，

因为有两个极值点，所以，

欲证等价于证，即，所以，

因为，所以原不等式等价于①，

由可得，则②，

由①②可知，原不等式等价于，即，

设，则上式等价于时，，

令，则，

因为，所以，所以在区间上单调递增，

所以当时，，即，

所以原不等式成立，即.