Question

（08年西城区抽样测试理）（14分）

数列中，， (为常数，) ，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）① 证明：；

② 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明.

Answer 1

解析：（Ⅰ）依题意，

由，得，

解得，或（舍去）.                                                ………….. 3分

（Ⅱ）解：

① 证明：因为，

当且仅当时，.

因为，所以，即  () .                      ………….. 5分

② 数列有极限，    ……….. 6分      且 .                      ………….. 7分                                        

（Ⅲ）解：

由，可得，

从而.

因为，所以

所以

………….. 9分

因为，由（Ⅱ）① 得   ().      

下面证明：对于任意，有成立.

当时，由，显然结论成立.

假设结论对时成立，即

因为，且函数在时单调递增，

所以.

即当时，结论也成立.       于是，当时，有成立.        

根据得 .                                                   ………….. 12分

由 及， 经计算可得

所以，当时， ；      当时，；

当时，由，  得.

                                                                          ………….. 14分