Question

设A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1）D（1，1，1），求直线AD与平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，利用线面垂直即可得出．设直线AD与平面ABC所成的角为θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

即可求出．

解答：解：∵A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），∴

AB

=(0，0，1)，

AC

=(-1，1，1)．
设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • AB =0 n • AC =0

，即

z=0 -x+y+z=0

，
不妨令x=1，则y=1，z=0，∴

n

=(1，1，0)．
又

AD

=（0，1，1），
设直线AD与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

=

1

2 × 2

=

1

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

6

．
因此直线AD与平面ABC所成的角为

π

6

．

点评：熟练掌握线面垂直的性质、垂直与数量积的关系、公式sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

求线面角是解题的关键．