题目内容
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，从椭圆上的点P向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，点A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，且A
=λO
，又直线AB与圆x2+y2=
相切，
（1）求满足上述条件的椭圆方程；
（2）过该椭圆的右焦点F2的动直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，在x上是否存在定点Q，使得Q
•Q
为定值？如果存在，求出定点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
| B |
| P |
| 2 |
| 3 |
（1）求满足上述条件的椭圆方程；
（2）过该椭圆的右焦点F2的动直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，在x上是否存在定点Q，使得Q
| M |
| N |
分析：（1）由题意可设椭圆的方程为：
+
=1(a＞b＞0)，直线AB的方程为bx+ay-ab=0，由直线AB与圆x2+y2=
相切可得，
=
结合A
=λO
，
=
可求
（2）设Q（m，0），M（x1，y1）N（x2，y2），直线的方程为y=k（x-1）联立方程
可得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0，而
•
=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)，由方程代入可求
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
| ab | ||
|
| ||
| 3 |
| B |
| P |
| a |
| c |
| b | ||
|
（2）设Q（m，0），M（x1，y1）N（x2，y2），直线的方程为y=k（x-1）联立方程
|
| QM |
| QN |
解答：
解：（1）由题意可设椭圆的方程为：
+
=1(a＞b＞0)，
由已知可得，A（a，0）B（0，b），F（-c，0），P（-c，
），直线AB的方程为bx+ay-ab=0
由直线AB与圆x2+y2=
相切可得，
=
①
又因为A
=λO
，所以（-a，b）=λ(-c，
)即
=
②
①②联立可得，a=
，b=c=1
所以，所求的椭圆方程为
+y2=1
（2）设Q（m，0），M（x1，y1）N（x2，y2），直线的方程为y=k（x-1）
联立方程
可得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0
x1+x2=
，x1x2=
y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=
•k2
•
=(x1-m，y1)•(x2-m，y2)=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2
=
-
+m2-
•k2=
（*）
不论k取何值，（*）式若为定值，则m=
，
即Q(
，0)，Q
•Q
定值为-
解：（1）由题意可设椭圆的方程为：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由已知可得，A（a，0）B（0，b），F（-c，0），P（-c，
| b2 |
| a |
由直线AB与圆x2+y2=
| 2 |
| 3 |
| ab | ||
|
| ||
| 3 |
又因为A
| B |
| P |
| b2 |
| a |
| a |
| c |
| b | ||
|
①②联立可得，a=
| 2 |
所以，所求的椭圆方程为
| x2 |
| 2 |
（2）设Q（m，0），M（x1，y1）N（x2，y2），直线的方程为y=k（x-1）
联立方程
|
x1+x2=
| 4k2 |
| 1+2k2 |
| 2(k2-1) |
| 1+2 k2 |
y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=
| -1 |
| 1+2k2 |
| QM |
| QN |
=
| 2(k2-1) |
| 1+2k2 |
| 4mk2 |
| 1+2k2 |
| 1 |
| 1+2k2 |
| (1-4m+2m2)k2+m2-2 |
| 1+2k2 |
不论k取何值，（*）式若为定值，则m=
| 5 |
| 4 |
即Q(
| 5 |
| 4 |
| M |
| N |
| 7 |
| 16 |
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程及直线与椭圆位置关系的应用，解题的关键是设除直线方程后要能根据方程的根与系数的关系写出x1x2，x1+x2．
练习册系列答案
相关题目