Question

已知函数与为常数）的图象关于直线x=1对称，

且x=1是的一个极值点.

      （1）求出函数的表达式和单调区间；

      （2）若已知当时，不等式恒成立，

求m的取值范围. （注：若）。

Answer 1

解析：

   （Ⅰ）设是函数f(x)的图象上任意一点，则易求得P点关于直线x=1的对称点为

       ，依题意知点在y=g(x)的图象上，

       ∴y=aln(2-x)-(2-x)²

       ∴f(x)=aln(2-x)-(2-x)²                                                                                     ?????????????????2分

       ∴

       ∵x=1是f(x)的一个极值点，∴

       ∴a=2                                                                                     ?????????????????3分

       ∴f(x)的表达式是f(x)=2ln(2-x)-(2-x)²，（x＜2）                      ?????????????????4分

       ∴

       ∵f(x)定义域是（―∞，2），∴只有x=1是f(x)的极值点

       又当x＜1时，＞0

       当1＜x＜2时，＜0                                                      ??????????????????5分

       ∴f(x)的单调递增区间是（―∞，1），单调递减区间是（1，2）??????????????????6分

   （写出也对）

   （Ⅱ）由＜0

       得＜―，                                              ??????????????????7分

       ∴+＜m＜-                            ?????????????????8分

       ∴＜m＜在x∈[-2，-1]时恒成立             ?????????????????9分

       故只需求出在x∈[-2，-1]时的最大值和在x∈[-2，-1]时的最小值，

       即可求得m的取值范围。                                                       ????????????????10分

       当x∈[-2，-1]时

       ∵=ln≤ln                     ????????????????12分

       =≥              ????????????????13分

       ∴m的取值范围是（0，）