Question

4．已知命题p：x∈A，且A={x|a-1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|y=$\sqrt{{x}^{2}-3x+2}$}．
（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出集合B，利用A∪B=R，列出不等式，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用p是q的充分条件，推出集合的子集关系，然后求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 由题意知，B={x|x²-3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}…（2分）
∵A∪B=R，且$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$
∴$，\left\{\begin{array}{l}a-1≤1\\ a+1≥2\end{array}\right.$
∴1≤a≤2…（5分）
即所求实数$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=3$的取值范围是[1，2]…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 B={x|x≤1或x≥2}，且$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$…（7分）
∵$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$是$x=\frac{π}{6}$的充分条件，
∴A⊆B…（8分）
∴a+1≤1或a-1≥2
∴a≤0或a≥3…（11分）
即所求实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}…（12分）

点评 本题考查集合的基本运算，充要条件的判断考查计算能力．