题目内容
如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，
底面
（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）当时，在线段
上是否存在一点
使二面角
为
，若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由。
中，底面是平行四边形，底面（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；（Ⅲ）当
时，在线段上是否存在一点使二面角为，若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由。（Ⅰ）证明：在
中，
∵
∴
∴
，得
又∵底面
∴斜线
在底面内的射影为
∴由三垂线定理，得
故，
…………………………………4分
（Ⅱ）以
为原点，
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，则
设
是平面
的法向量，则
取
，
得
∴
是平面的一个法向量。
同理可求：
是平面
的一个法向量
∴
………………………………7分
故，二面角的余弦值
（Ⅲ）显然
是平面
的一个法向量，可是
因
得
从而，得
设
是平面
的法向量，同（Ⅱ）容易解得
是平面 的一个法向量。
由题意，得
………………12分
即
，注意到
解得
故，当点在线段上，且满足
时，二面角为
中，∵
∴
∴
，得又∵
底面∴斜线
在底面内的射影为∴由三垂线定理，得
故，
…………………………………4分（Ⅱ）以
为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则设
是平面的法向量，则取，得∴
是平面的一个法向量。同理可求：
是平面的一个法向量∴
………………………………7分故，二面角
的余弦值（Ⅲ）显然
是平面的一个法向量，可是因
得从而，得设
是平面的法向量，同（Ⅱ）容易解得是平面 的一个法向量。由题意，得
………………12分即
，注意到解得故，当点
在线段上，且满足时，二面角为略
练习册系列答案
相关题目
．下面有四个命题( )
； (2)
；
； (4)
．
中，侧棱
、
、
两两垂直，
、
、
的面积分别为
、
、
，则该三棱锥外接球的表面积为
的边长为4，
是
边上的高，
分别是
和
边的中点，现将△
．
的位置关系，并说明理由；
，使
？证明你的结论．
的体积为
，
为其侧棱
上的任意一点，则四棱锥
的体积为____________
．