题目内容
椭圆
+
=1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是
| x2 |
| 5a |
| y2 |
| 2a2+2 |
(0，
]
| ||
| 5 |
(0，
]
．
| ||
| 5 |
分析：由于椭圆
+
=1的焦点在x轴上，可得5a＞2a2+2＞0，解得a的取值范围．利用基本不等式即可得出
=
(a+
)的取值范围，令f（a）=
，f（2）=1=f(
)，利用单调性可得f（a）的取值范围，即可得出
的取值范围．进而得到e=
取值范围．
| x2 |
| 5a |
| y2 |
| 2a2+2 |
| 2a2+2 |
| 5a |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| a |
| 2a2+2 |
| 5a |
| 1 |
| 2 |
| 1-f(a) |
| 1-f(a) |
解答：解：∵椭圆
+
=1的焦点在x轴上，∴5a＞2a2+2＞0，解得
＜a＜2．
∴
=
(a+
)≥
×2
=
，当且仅当a=1时取等号．
令f（a）=
，f（2）=1=f(
)，∴
≤f(a)＜1，
∴0＜1-f(a)≤
，0＜
≤
．
∵e=
，∴离心率e的取值范围是(0，
]．
故答案为是(0，
]．
| x2 |
| 5a |
| y2 |
| 2a2+2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 2a2+2 |
| 5a |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| a |
| 2 |
| 5 |
a×
|
| 4 |
| 5 |
令f（a）=
| 2a2+2 |
| 5a |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
∴0＜1-f(a)≤
| 1 |
| 5 |
| 1-f(a) |
| ||
| 5 |
∵e=
| 1-f(a) |
| ||
| 5 |
故答案为是(0，
| ||
| 5 |
点评：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的应用、函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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相关题目
过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：
+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
| x2 |
| 2 |
A、
| ||
B、4
| ||
C、2
| ||
D、
|
如图所示，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6．若tan∠ADP-2tan∠BCP=1，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）| A、椭圆的一部分 | B、线段 | C、双曲线的一部分 | D、以上都不是 |