Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为-1．
（1）求椭圆∑的方程；
（2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；
（3）当∠ABC=

π

3

时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）依题意，b=1，解

c2

a2

+

y2

b2

=1，得|y|=

b2

a

，所以

2b2

a

=1，由此能求出椭圆E的方程．
（2）直线BD：y=-1×（x-1）=-x+1，设AC：y=x+b，由方程组

y=x+b x2 4 +y2=1

得

5x2

4

+2bx+(b2-1)=0，再由根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质能推导出AC的方程．
（3）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=

π

3

，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积S=

3

2

×AC2，由AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=

32

5

-

32

25

×b2，能推导出当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．

解答：解：（1）依题意，b=1，
解

c2

a2

+

y2

b2

=1，得|y|=

b2

a

，
所以

2b2

a

=1，a=2，
椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）直线BD：y=-1×（x-1）=-x+1，
设AC：y=x+b，
由方程组

y=x+b x2 4 +y2=1

得

5x2

4

+2bx+(b2-1)=0，
当△=(2b)2-4×

5

4

×(b2-1) =5-b2＞0时，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）的中点坐标为

x1+x2

2

=-

4

5

b，

y1+y2

2

=

b

5

，
ABCD是菱形，所以AC的中点在BD上，所以

b

5

=

4b

5

+1
解得b=-

5

3

，满足△=5-b²＞0，所以AC的方程为y=x-

5

3

．
（3）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=

π

3

，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积S=

3

2

×AC2，
由（2）可得AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₂）²=2，
AC²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=2（x₂-x₁）²=2（x₂+x₁）²-8x₁x₂=2×(-

8b

5

)2-8×

4

5

×(b2-1)=

32

5

-

32

25

×b2，
因为|b|＜

5

，所以当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值，最大值为

3

2

×

32

5

=

16 3

5

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质，结合椭圆的性质注意合理地进行等价转化．