Question

10．对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题；
①若y=f（x）是奇函数，则y=f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数y=f（x+1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
③如果函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），那么该函数以4为周期．
其中正确命题的序号为①③．

Answer 1

分析 对命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：若f（x）是奇函数，则函数f（x）关于（0，0）对称，将函数f（x）向右平移一个单调，得到f（x-1），此时函数f（x-1）关于（1，0）对称，所以①正确．
y=f（x+1）的图象相当于y=f（x）的图象向左平移一个单位，而y=f（1-x）相当于y=f（x）关于y轴对称的图象向右平移一个单位，两个图象关于y轴对称，而不是关于x=1对称，所以②不正确；
如果函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），那么f（x+4）=f（2-x）=f（x），所以该函数以4为周期，所以③正确．
故答案为：①③．

点评 本题主要考查函数性质 的综合应用，要求熟练掌握相关的函数性质．