Question

（本题12分）

如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,  AA=2,  E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

（I）证明：直线EE//平面FCC；

（II）求二面角B-FC-C的余弦值。    

Answer 1

（本小题满分12分）

解:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD₁为

z轴建立空间直角坐标系,…  …………… ………1分

,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C₁（0,2,2）,E（,,0）,E₁（,-1,1）, …………  …… ………2分

所以,,设平面CC₁F的法向量为则所以

取,  ……  ……………4分

则,所以,

所以直线EE//平面FCC.     …………  …………… ……  …………………6分  

（2）,设平面BFC₁的法向量为,则所以,取,……… ……  ……………………8分

则,

,,     

所以,… ……  …………………………10分

由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.    ……12分