题目内容

(本题12分)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CDABAB=4,ADCD=2,M为线段AB的中点,将△ACD沿折起,使平面ACD⊥平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.

(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD

(Ⅱ)求二面角ACDM的余弦值.

 

【答案】

 

解:(Ⅰ)取AC的中点O,连接DO,则DOAC

   ∵平面ADC⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC,∴DOBC

   在直角梯形ABCD中,连接CM,可得CMAD=2,ACBC=2

   ∴AC2BC2AB2,∴ACBC

   又∵DOACO,∴BC⊥平面ACD

(Ⅱ)取CD的中点N,连接MO, NO, MN

MOBC,∴MO⊥平面ACD,∴MOCD

ADCDONAD,∴ONCD,又∵MONOO

CD⊥平面MON,∴CDMN,∴∠MNO是所求二面角的平面角

在Rt△MON中,MONO=1,

MN,∴cos∠MNO

【解析】略

 

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