Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：相切．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点A（x，y）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足，（其中m+n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时，得到曲线C，问是否存在与l₁垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据圆与直线l₁：相切，利用点到直线的距离，求出圆的半径，从而可求圆C₁的方程；
（Ⅱ）设出点的坐标，利用向量条件，确定动点坐标之间的关系，利用A为圆上的点，即可求得动点Q的轨迹方程C₂；
（Ⅲ）时，曲线C方程为，假设直线l的方程，与椭圆联立，利用韦达定理及向量条件，利用数量积小于0，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则…（2分）
所以圆C₁的方程为x²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x，y），AN⊥x轴于N，N（x，0）
由题意，（x，y）=m（x，y）+n（x，0），所以…（5分）
即：，将代入x²+y²=4，得…（7分）
（Ⅲ）时，曲线C方程为，假设存在直线l与直线l₁：垂直，
设直线l的方程为y=-x+b…（8分）
设直线l与椭圆交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立得：，得7x²-8bx+4b²-12=0…（9分）
因为△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且…（10分）
∴=
==…（12分）
因为∠BOD为钝角，所以且b≠0，
解得且b≠0，满足b²＜7
∴且b≠0，
所以存在直线l满足题意…（14分）
点评：本题考查圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．