题目内容
已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:相切.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设点A(x0,y0)为圆上任意一点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足,(其中m+n=1,m,n≠0,m为常数),试求动点Q的轨迹方程C2;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当时,得到曲线C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点,且∠BOD为钝角,请说明理由.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设点A(x0,y0)为圆上任意一点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足,(其中m+n=1,m,n≠0,m为常数),试求动点Q的轨迹方程C2;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当时,得到曲线C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点,且∠BOD为钝角,请说明理由.
解:(Ⅰ)设圆的半径为r,圆心到直线l1距离为d,则
所以圆C1的方程为x2+y2=4;
(Ⅱ)设动点Q(x,y),A(x0,y0),AN⊥x轴于N,N(x0,0)
由题意,(x,y)=m(x0,y0)+n(x0,0),所以
即:,
将代入x2+y2=4,
得
(Ⅲ)时,曲线C方程为,
假设存在直线l与直线l1:垂直,
设直线l的方程为y=﹣x+b
设直线l与椭圆交点B(x1,y1),D(x2,y2)
联立得:,得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0
因为△=48(7﹣b2)>0,解得b2<7,且
∴===
因为∠BOD为钝角,
所以,
解得满足b2<7
∴
所以存在直线l满足题意。
所以圆C1的方程为x2+y2=4;
(Ⅱ)设动点Q(x,y),A(x0,y0),AN⊥x轴于N,N(x0,0)
由题意,(x,y)=m(x0,y0)+n(x0,0),所以
即:,
将代入x2+y2=4,
得
(Ⅲ)时,曲线C方程为,
假设存在直线l与直线l1:垂直,
设直线l的方程为y=﹣x+b
设直线l与椭圆交点B(x1,y1),D(x2,y2)
联立得:,得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0
因为△=48(7﹣b2)>0,解得b2<7,且
∴===
因为∠BOD为钝角,
所以,
解得满足b2<7
∴
所以存在直线l满足题意。
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