题目内容

（2012•吉林二模）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x-y-2
2
=0相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：
OQ
=m
OA
+(1-m)
ON
，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；
（3）在（2）的结论下，当m=
3
2
时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．
分析：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则d=
|-2
2
|
12+12
=2．由此能求出圆的方程．
（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1-m）（x0，0），所以
x=x0
y=my0
，由此能求出动点Q的轨迹方程．
（3）m=
3
2
时，曲线C方程为
x2
4
+
y2
3
=1，设直线l的方程为y=-x+b．设直线l与椭圆
x2
4
+
y2
3
=1交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程
y=-x+b
3x2+4y2=12
，得7x2-8bx+4b2-12=0．由此能求出△OBD面积的最大值．
解答：解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则d=
|-2
2
|
12+12
=2，2分
圆C1的方程为x2+y2=4，2分
（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）
由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1-m）（x0，0），所以
x=x0
y=my0
，2分
即：
x0=x
y0=
1
m
y
，将A(x，
1
m
y)代入x2+y2=4，得
x2
4
+
y2
4m2
=1，3分
（3）m=
3
2
时，曲线C方程为
x2
4
+
y2
3
=1，设直线l的方程为y=-x+b
设直线l与椭圆
x2
4
+
y2
3
=1交点B（x1，y1），D（x2，y2）
联立方程
y=-x+b
3x2+4y2=12
得7x2-8bx+4b2-12=0，1分
因为△=48（7-b2）＞0，解得b2＜7，且x1+x2=
8b
7
，x1x2=
4b2-12
7
，2分
∵点O到直线l的距离d=
|b|
2
，BD=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
6
7
7-b2
．
∴S△OBD=
1
2
•
|b|
2
•
4
6
7
7-b2
=
2
3
7
b2(7-b2)
≤
3
，2分
（当且仅当b2=7-b2即b2=
7
2
＜7时取到最大值），1分
∴△OBD面积的最大值为
3
．1分．
点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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（2012•吉林二模）设函数f(x)=
1-a
2
x2+ax-lnx(a∈R)．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有
(a2-1)
2
m+ln2＞|f(x1)-f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
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（log2
3
2
，1）
（log2
3
2
，1）
．
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1-a2
x2+ax-lnx （a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
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3
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3
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π
6
π
6
．
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15
16
，则输入的a为（　　）

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