题目内容
已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x-y-2
=0相切．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点A（x0，y0）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足
=m
+n
，（其中m+n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当m=
时，得到曲线C，问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由．
| 2 |
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点A（x0，y0）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足
| OQ |
| OA |
| ON |
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当m=
| ||
| 2 |
分析：（Ⅰ）根据圆与直线l1：x-y-2
=0相切，利用点到直线的距离，求出圆的半径，从而可求圆C1的方程；
（Ⅱ）设出点的坐标，利用向量条件，确定动点坐标之间的关系，利用A为圆上的点，即可求得动点Q的轨迹方程C2；
（Ⅲ）m=
时，曲线C方程为
+
=1，假设直线l的方程，与椭圆
+
=1联立，利用韦达定理及向量条件，利用数量积小于0，即可得到结论．
| 2 |
（Ⅱ）设出点的坐标，利用向量条件，确定动点坐标之间的关系，利用A为圆上的点，即可求得动点Q的轨迹方程C2；
（Ⅲ）m=
| ||
| 2 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则d=
=2…（2分）
所以圆C1的方程为x2+y2=4…（3分）
（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）
由题意，（x，y）=m（x0，y0）+n（x0，0），所以
…（5分）
即：
，将A(x，
y)代入x2+y2=4，得
+
=1…（7分）
（Ⅲ）m=
时，曲线C方程为
+
=1，假设存在直线l与直线l1：x-y-2
=0垂直，
设直线l的方程为y=-x+b…（8分）
设直线l与椭圆
+
=1交点B（x1，y1），D（x2，y2）
联立得：
，得7x2-8bx+4b2-12=0…（9分）
因为△=48（7-b2）＞0，解得b2＜7，且x1+x2=
，x1x2=
…（10分）
∴
•
=x1x2+y1y2=x1x2+(b-x1)(b-x2)=2x1x2-b(x1+x2)+b2
=
-
+b2=
…（12分）
因为∠BOD为钝角，所以
＜0且b≠0，
解得b2＜
且b≠0，满足b2＜7
∴-
＜b＜
且b≠0，
所以存在直线l满足题意…（14分）
|-2
| ||
|
所以圆C1的方程为x2+y2=4…（3分）
（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）
由题意，（x，y）=m（x0，y0）+n（x0，0），所以
|
即：
|
| 1 |
| m |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 4m2 |
（Ⅲ）m=
| ||
| 2 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| 2 |
设直线l的方程为y=-x+b…（8分）
设直线l与椭圆
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
联立得：
|
因为△=48（7-b2）＞0，解得b2＜7，且x1+x2=
| 8b |
| 7 |
| 4b2-12 |
| 7 |
∴
| OD |
| OB |
=
| 8b2-24 |
| 7 |
| 8b2 |
| 7 |
| 7b2-24 |
| 7 |
因为∠BOD为钝角，所以
| 7b2-24 |
| 7 |
解得b2＜
| 24 |
| 7 |
∴-
2
| ||
| 7 |
2
| ||
| 7 |
所以存在直线l满足题意…（14分）
点评：本题考查圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．
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=0相切，
，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；
时，得到
曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值。
相切．
，（其中m+n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C2；
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相切．
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