题目内容

已知抛物线C：y2=4x，P（x0，y0）（y0＞0）为抛物线上一点，Q为P关于x轴对称的点，O为坐标原点．
（1）若S△POQ=2，求P点的坐标；
（2）若过满足（1）中的点P作直线PA，PB交抛物线C于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，且k1k2=4，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．
（1）由题意得，S△POQ=
1
2
x02y0=2，∴
y03
4
=2，∴y0=2，即P（1，2）…（4分）
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+b，A（x1，y1）B（x2，y2）
直线与抛物线联立得y2-4my-4b=0，∴y1+y2=4m，y1y2=-4b
由k1k2=4，即
y1-2
x1-1
•
y2-2
x2-1
=4，整理得
y1y2-2(y1+y2)+4
x1x2-(x1+x2)+1
=4
即
y1y2-2(y1+y2)+4
1
16
y1y2-
1
4
[(y1+y2)2-2y1y2]+1
=4，
把韦达定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）
所以直线AB过定点（0，-2）…（12分）
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．
已知抛物线C：y2=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求证：a2=
16(1-kb)k2
．
已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值．
已知抛物线C：y2=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若
MA
•
MB
=0，则k=（　　）

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