Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为。
(Ⅱ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
联立，得(3+4k²)x²+8mkx+4(m²-3)=0，
则，
又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²，
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，
∴，即，
∴y₁y₂+x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=0，
∴，
∴7m²+16mk+4k²=0，
解得：，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点(2，0)，与已知矛盾；
当时，l的方程为，直线过定点。
所以，直线l过定点，定点坐标为。