题目内容

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,
32
)在椭圆C上.
(I)求椭圆C的方程;
(II)如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2M⊥l,求四边形F1MNF2面积S的最大值.
分析:(Ⅰ)由题意设出椭圆的标准方程,题目给出c=1,把点P的坐标带入椭圆方程,结合a2=b2+c2求解a,b的值,则椭圆的方程可求;
(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,由判别式等于0得到直线的斜率和截距的关系,由点到直线距离公式分别求出F1,F2 到直线的距离,把距离作差后结合直线的倾斜角把
|MN|用距离差的绝对值和直线的斜率表示,然后代入直角梯形的面积公式,转化为含有一个变量的代数式后换元,最后利用导数求最值.
解答:解:(I)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
 (a>b>0),
由已知可得
1
a2
+
9
4b2
=1
a2=b2+c2
c=1

解得:a=2,b=
3

故所求椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(II)如图,
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,
△=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得:m2=4k2+3.
d1=|F1M|=
|-k+m|
k2+1
d2=|F2M|=
|k+m|
k2+1

当k≠0时,设直线l的倾斜角为θ,则|d1-d2|=|MN||tanθ|,
|MN|=|
d1-d2
k
|

S=
1
2
|
d1-d2
k
|(d1+d2)=|
d12-d22
2k
|

=
2|m|
k2+1
=
2|m|
m2-3
4
+1
=
8
|m|+
1
|m|

∵m2=4k2+3,∴当k≠0时,|m|=
3
,令g(t)=t+
1
t
t=|m|>
3
g(t)=1-
1
t2

当t
3
时,g′(t)>0,∴g(t)在[
3
,+∞)上为增函数,
g(t)>g(
3
)=
4
3
3
,∴S<2
3

当k=0时,四边形F1MNF2是矩形,S=2
3

所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2
3
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了利用函数的导函数求最值,考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力,是高考试题中的压轴题.
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