Question

如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则的取值范围是________．

Answer 1

[2，3]
分析：令∠OAD=θ，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．
解答：如图令∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，
如图∠DAX=-θ，BC=1，故x_D=2cosθ+cos（ -θ）=2cosθ+sinθ，
y_D=sin（ -θ）=cosθ
故 =（2cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+2sinθ），即 =（sinθ，cosθ+2sinθ），
∴=（cosθ+2sinθ，cosθ）•（sinθ，2cosθ+sinθ）=2+sin2θ，
∵sin2θ∈[0，1]，∴的最大值是3，最小值是2，
故答案是：[2，3]．
点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．