Question

如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则

OC

•

OD

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：令∠OAD=θ，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．

解答：解：如图令∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，
如图∠DAX=

π

2

-θ，BC=1，故x_D=2cosθ+cos（

π

2

-θ）=2cosθ+sinθ，
y_D=sin（

π

2

-θ）=cosθ
故

OD

=（2cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+2sinθ），即

OC

=（sinθ，cosθ+2sinθ），
∴

OC

•

OD

=（2cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+2sinθ）=1+2sin2θ，
∵sin2θ∈[0，1]，∴

OC

•

OD

的最大值是3，最小值是1，
故答案是：[1，3]．

点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．